Translate

Κυριακή, 7 Φεβρουαρίου 2016

1729: ένας «αριθμός ταξί» με βαθύτερη μαθηματική σημασία



taxicab numberΟ Ινδός αυτοδίδακτος μαθηματικός Srinivasa Ramanujan (Ραμανουτζάν) (1887 – 1920), αποτελεί μια από τις πιο σπάνιες περιπτώσεις ιδιοφυίας στην ιστορία των μαθηματικών.
Στις αρχές του 1913 ο καθηγητής του Πανεπιστημίου του Κέμπριτζ Gοdfrey H. Hardy (Χάρντι) (1877 – 1947) έλαβε μια επιστολή από το Μαντράς της Ινδίας. Ο Χάρντι την εποχή εκείνη εθεωρείτο ως ένας από τους καλύτερους ειδικούς στον απειροστικό λογισμό και τη θεωρία των αριθμών. Αποστολέας ήταν ο Srinivasa Ramanujan (Ραμανουτζάν), υπάλληλος στο λογιστήριο του ταχυδρομικού γραφείου του Μαντράς. Στην επιστολή του ανέφερε ότι δεν είχε αποφοιτήσει από κάποιο πανεπιστήμιο και ότι, αφότου τέλειωσε το σχολείο, είχε μελετήσει μόνος του μαθηματικά με το δικό του τρόπο χωρίς να ακολουθήσει το παραδοσιακό σύστημα.

Μια επιστολή τέτοιου είδους δεν θα είχε εντυπωσιάσει τον Χάρντι αν δεν περιείχε μια σειρά από μαθηματικούς τύπους που ο Ραμανουτζάν πρότεινε για δημοσίευση, εφόσον ο Χάρντι τους έβρισκε ενδιαφέροντες, δεδομένου ότι ο Ραμανουτζάν δεν είχε τα χρήματα που απαιτούνταν για την δημοσίευσή τους.
Ο Χάρντι εντυπωσιάστηκε και καταπιάστηκε – σε συνεργασία με τον J. E. Littlewood (Λίτλγουντ) – με τη μελέτη και την κατανόηση των μαθηματικών αποτελεσμάτων που περιείχε η επιστολή. Αρκετά από αυτά τα αποτελέσματα ήταν νέα, ενώ συχνά έμοιαζαν και απολύτως δυσνόητα, τουλάχιστον ως προς τον «αποδεικτικό» συλλογισμό που τα στήριζε. Η απόδειξη, με την αυστηρή έννοια του όρου (αυτή που αποτέλεσε τη μεγαλύτερη συμβολή της αρχαίας ελληνικής μαθηματικής επιστήμης στον τρόπο με τον οποίο κάνουμε μαθηματικά σήμερα), ήταν άγνωστη στον Ραμανουτζάν.
Οι «αποδείξεις» του ήταν απολύτως ιδιόμορφης φύσεως και στηρίζονταν κυρίως στη διαίσθησή του, που τον οδηγούσε πάντοτε σε μια σειρά «περίεργων» βημάτων στο πλαίσιο μιας εντελώς δικής του συλλογιστικής.
Ο ιδιοφυής αυτοδίδακτος μαθηματικός Srinivasa Ramanujan
Ο ιδιοφυής αυτοδίδακτος μαθηματικός Srinivasa Ramanujan
Oι Χάρντι και Λίτλγουντ αντιλήφθηκαν αμέσως ότι ο νεαρός Ινδός επιστολογράφος συνιστούσε άκρως ενδιαφέρουσα περίπτωση πρωτότυπης ιδιοφυίας. Έτσι, ο Χάρντι οργάνωσε και μεθόδευσε την πρόσκληση του Ραμανουτζάν στο Κολέγιο Τρίνιτι του Κέμπριτζ. Ύστερα από μια πρώτη, πρόσκαιρη άρνηση, ο Ραμανουτζάν δέχτηκε να πάει στο Κέμπριτζ, όπου έφτασε τον Απρίλιο του 1914.
Εκεί, σύμφωνα με το πρόγραμμα που του είχε ετοιμάσει ο Χάρντι, o Ραμανουτζάν παρακολούθησε κάποιες διαλέξεις στην ανάλυση και στην άλγεβρα. Επιπλέον, αρκετά μαθηματικά του τα δίδαξε κατ’ ιδίαν ο Χάρντι στη διάρκεια των συναντήσεών τους. Γενναιόδωρος, όμως, και ειλικρινής, καθώς ήταν, παραδέχθηκε ότι «προφανώς εγώ διδάχθηκα περισσότερα από εκείνον απ΄όσα αυτός [ο Ραμανουτζάν] από εμένα».
Τα χρόνια του Κέμπριτζ υπήρξαν παραγωγικά για τον Ραμανουτζάν, αλλά δεν διήρκεσαν πολύ. Το κλίμα στο Λονδίνο, αλλά και οι δυσκολίες εξαιτίας του 1ου παγκοσμίου πολέμου, επιδείνωσαν την υγεία του Ραμανουτζάν, που έπασχε από φυματίωση και το 1917 εισήχθη σε νοσοκομείο του Λονδίνου.

Ο «αριθμός-ταξί» ή αριθμός «Hardy-Ramanujan»

Κατά τη διάρκεια μιας επίσκεψής του στο νοσοκομείο ο Χάρντι, θέλοντας να φτιάξει το κέφι του Ραμανουτζάν, ανέφερε τον αριθμό κυκλοφορίας του ταξί που τον μετέφερε, ήταν ο αριθμός 1729: «πρόκειται μάλλον για έναν πληκτικό αριθμό κι ελπίζω να μην είναι κακός οιωνός» είπε ο Χάρντι.
«Όχι» απάντησε ο Ραμανουτζάν, «Δεν έχεις δίκιο, είναι ένας πολύ ενδιαφέρων αριθμός. Είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα δυο κύβων, με δυο διαφορετικούς τρόπους».
Ο Ραμανουτζάν ακολουθώντας ιατρική σύσταση, επέστρεψε στην Ινδία στις αρχές του 1919, και πέθανε εκεί τον Απρίλιο του 1920. Πέρασε τα τρία τελευταία χρόνια της ζωής του σε σανατόρια, με την υγεία του σε κακή κατάσταση. Παρ’ όλα αυτά, ήταν μόλις το 1918 που ανακάλυψε μερικά από τα πιο ωραία του θεωρήματα, την εποχή περίπου που εκλέχτηκε εταίρος της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου.
Την ιστορία με τον αριθμό της κυκλοφορίας του ταξί, που αποτελεί ένα ελάχιστο δείγμα της μαθηματικής ιδιοφυίας του Ραμανουτζάν, έφεραν ξανά στην επικαιρότητα οι μαθηματικοί Ken Ono και Sarah Trebat-Leder στην πρόσφατη δημοσίευσή τους με τίτλο «The 1729 K3 surface» .
taxicab number1Πράγματι, το 1729 είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δυο θετικών κύβων, με δυο διαφορετικούς τρόπους:
1729 = 93 + 103 = 123 + 13
Πως το ήξερε αυτό ο Ραμανουτζάν; Δεν επρόκειτο για επιφοίτηση. Είχε ασχοληθεί στο παρελθόν με την διοφαντική εξίσωση Euler x3 + y3 = z3 + w3, είχε συναντήσει αυτή την αριθμητική λεπτομέρεια, την κατέγραψε στο σημειωματάριό του και, χάρη στη χαρακτηριστική του ευχέρεια με τους αριθμούς, τη θυμήθηκε.
Οι Ken Ono και Sarah Trebat-Leder στην δημοσίευσή τους ανακοίνωσαν πως ο Ραμανουτζάν, πέρα από την αναπαράσταση του αριθμού 1729, μελετούσε ελλειπτικές καμπύλες και είχε ανακαλύψει τις επιφάνειες Κ3 – αντικείμενα που σήμερα είναι πολύ σημαντικά στα μαθηματικά (θεωρία αριθμών), αλλά και στη φυσική (θεωρία των χορδών και κβαντική φυσική).
Ελλειπτική καμπύλη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη κυβική εξίσωση. Τέτοιου είδους καμπύλες βρίσκονται σε στενή κυβική εξίσωση. Τέτοιου είδους καμπύλες βρίσκονται σε στενή σύνδεση με το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Ειδικότερα, αν υπήρχε ένα αντιπαράδειγμα στο θεώρημα, θα συνεπαγόταν την ύπαρξη μιας ελλειπτικής καμπύλης με κάποιες πολύ ξεχωριστές ιδιότητες. Η καμπύλη που παρουσιάζεται εδώ, ορίζεται από την εξίσωση y2 = x(x-3)(x+32)
Ελλειπτική καμπύλη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη κυβική εξίσωση.Τέτοιου είδους καμπύλες βρίσκονται σε στενή σύνδεση με το τελευταίο θεώρημα του Fermat.
Ο αριθμοί σαν τον 1729, που είναι μικρότερος ακέραιος που μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα δυο κύβων με n διαφορετικούς τρόπους (n=2 στην περίπτωση του 1729), αναφέρονται ως αριθμοί «Hardy-Ramanujan» ή αριθμοί «taxi-cab». Μέχρι σήμερα έχουν βρεθεί 6 μόνο τέτοιοι αριθμοί.
Σε μια σελίδα του σημειωματάριου που κατέγραφε τις ιδέες του ο Ραμανουτζάν προς το τέλος της ζωής του (1919 -1920), εμφανίζεται ο αριθμός 1729 ως άθροισμα δυο κύβων με δυο διαφορετικούς τρόπους, συσχετισμένος με δεδομένα ελλειπτικών καμπυλών που χρησιμοποιούνται στην απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. Ο Ken Ono μελετώντας τις σημειώσεις του Ραμανουτζάν συνειδητοποίησε ότι ο ιδιοφυής ινδός μαθηματικός είχε ανακαλύψει μια επιφάνεια Κ3, πολύ πριν αυτές ταυτοποιηθούν και ονομαστούν έτσι από τον André Weil, στη δεκαετία του 1950. (Κ3: προς τιμήν των τριών μεγάλων μαθηματικών Kummer, Kähler, Kodaira – και του K2, το δεύτερο ψηλότερο βουνό στη Γη μετά το όρος Έβερεστ που βρίσκεται στο Κασμίρ!). Όπως είναι εξαιρετικά δύσκολο να ανέβει κανείς στο βουνό Κ2, έτσι και η διαδικασία γενίκευσης των ελλειπτικών καμπυλών για να βρεθεί μια επιφάνεια Κ3 θεωρείται πολύ δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα. Σύμφωνα με τους Ono και Trebat-Leder, ο Ραμανουτζάν χρησιμοποίησε τις ελλειπτικές καμπύλες (η αναπαράσταση του αριθμού 1729 σχετίζεται μ’ αυτές) για να καταλήξει σε μια επιφάνεια Κ3. Κι αυτό προκαλεί μεγάλη έκπληξη δεδομένου ότι οι μαθηματικοί ακόμα και σήμερα δυσκολεύονται να χειριστούν και να εκτελέσουν υπολογισμούς με επιφάνειες Κ3.
Ο θρύλος του Ραμανουτζάν είναι φυσικά γνωστός στην Ινδία, αλλά στις άλλες χώρες είναι γνωστός κυρίως μεταξύ των μαθηματικών. Ο υπόλοιπος κόσμος θα έχει την ευκαιρία να μάθει περισσότερα γι αυτόν μέσα από την ταινία «The Man Who Knew Infinity» που εξιστορεί την ζωή και το έργο του σπουδαίου Ινδού μαθηματικού. Υπενθυμίζεται ότι η ταινία άφησε πολύ καλές εντυπώσεις πριν από ένα μήνα στο Φεστιβάλ Κινηματογράφου του Τορόντο (διαβάστε σχετικά: Οι πρώτες εντυπώσεις από την ταινία για τον Ραμανουτζάν).
Η σελίδα από το σημειωματάριο του Ραμανουτζάν όπου ΄βρίσκονται οι αναπαραστάσεις του αριθμού 1729 ως άθροισμα κύβων
Η σελίδα από το σημειωματάριο του Ραμανουτζάν όπου βρίσκονται οι αναπαραστάσεις του αριθμού 1729 ως άθροισμα κύβων.
Πηγές
1. ΡΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝ, Ο Ινδός Μαθηματικός, Robert Kanigel, εκδόσεις Τραυλός
2. Mathematicians find ‘magic key’ to drive Ramanujan’s taxi-cab number
3. Περιοδικό QUANTUM, Μάιος/Ιούνιος 1998, ΤΟΜΟΣ 5/ ΤΕΥΧΟΣ 3
4. «THE 1729 K3 SURFACE»: http://arxiv.org/pdf/1510.00735v3.pdf,http://physicsgg.me/

Δεν υπάρχουν σχόλια: